Jeux mathématiques

Petite histoire de la somme des carrés des chiffres d'un nombre

Prenez un entier de 1 à 100, et calculez la somme des carrés de ses chiffres. Pour 1, ce n'est guère intéressant ! Mais pour 2, vous obtenez 4. 4 donne 16, 16 donne (1 + 36) 37; 37 donne (9 + 49) 58; 58 donne 89, puis 145, 42, 20, et enfin 4. La boucle est bouclée ! 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4... Si vous partez de 3, vous aurez : 3, 9, 81, 65, 61, 37 ... STOP ! Ce n'est pas la peine de continuer, 37 appartient à la boucle qui part de 2, et que l'on a donc rejoint. C'est aussi le cas pour 5 : 5, 25, 29, 85, 89 ... On soupçonne donc que la boucle qui part de 2 joue un grand rôle. Idée qui se confirme : 6, 36, 45, 41, 17, 50, 25 ... Nous venons de nous raccorder à la boucle qui part de 5 et donc nous aboutirons aussi dans celle qui part de 2. Mais... 7, 49, 97, 130, 10, 1. Là, ce n'est pas une boucle, plutôt un puits. D'autres nombres, comme 13 ou 19, vont aussi à 1. D'où la question : est-ce que tous les entiers de 1 à 100 vont au puits, ou dans la boucle ?

Quelques remarques.

Si un entier ab donne n, l'entier ba aussi. Ainsi : 17 donne 50 et 71 donne 50 également, puisqu'on fait une somme et qu'une somme de nombres ne dépend pas de l'ordre. Certains entiers peuvent être exprimés comme une somme de deux carrés. Par exemple : 40 = 36 + 4. Cela prouve que de 40 on peut remonter à 62 (et à 26) : 62 donne 40. On dit que 26 et 62 sont des antécédents de 40. Certains entiers ont beaucoup d'antécédents : 25 vient a de 5,de 34,de 43,de 50... Certains n'ont pas d'antécédent, par exemple 12, 23, 47. Parmi toutes les façons de les écrire comme une somme de deux entiers, presque aucune ne se fait avec deux carrés. Vous voyez qu'en partant d'entiers inférieurs à 100, on peut en chemin dépasser 100, mais pas souvent. Pourrait-on dépasser 200 ? Et pourrait-on trouver un point de départ, éventuellement plus grand que 100 à partir duquel la suite croîtrait indéfiniment ? Que se passerait-il si au lieu de prendre la somme des carrés des chiffres, on prenait la somme des cubes ?

Problème de Collatz

Soit n un entier. S'il est pair, divisez-le par 2. S'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Recommencez. Arrêtez seulement si vous trouvez 1. Quel que soit votre point de départ, vous finirez par 4, 2, 1.

Exemples :

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2,1. Attention, ça peut être long ! Partez de 110, pour voir.

Cette propriété a été vérifiée pour de très nombreuses valeurs, mais personne n'a pu la prouver. Modifiez un peu la définition, en multipliant par 5 au lieu de 3 (le reste sans changement). Cette fois, on n'aboutit pas toujours à 1. 17, 86 (= 5 fois 17, + 1), 43, 216, 108, 54, 27, 136, 68, 34,17, et ça recommence. En partant de 25, il semble qu'on augmente indéfiniment. Mais allez donc le prouver !

Problème de l'oncle Georges

Comment va-t-on chez l'oncles Georges ?
C'est tout droit.
Dans quelle direction ?
N'importe laquelle.

Sachant que le dialogue a lieu à Paris, où habite l'oncle Georges ?

Invention du jeu d'échecs

On raconte que l'inventeur du jeu d'échecs était un sage oriental nommé Sissa. Sissa aurait inventé le Chaturanga (ancêtre du jeu d'échecs) pour distraire un monarque. Pour le remercier, celui-ci proposa à Sissa de choisir lui-même sa récompense. Alors Sissa demanda simplement : 
"Il me faudrait un peu de blé.
C'est parfait Sissa, Combien en veux tu ? interrogea le souverain.
Voilà. Vous placerez un grain de blé sur la première case d'un échiquier ; puis, deux sur la deuxième case, quatre grains sur la troisième, huit sur la quatrième et ainsi de suite jusqu'à la soixante-quatrième case en doublant à chaque fois le nombre de grains."

A l'écoute de cette requête étrange, le souverain fut fort surpris et amusé ; mais en même temps rassuré par une demande aussi modeste.

Combien de grains de blé faut-il pour honorer la récompense de Sissa, et en supposant qu'un grain de blé a une masse de 0,1g, à quelle masse de blé correspond cette demande.



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